Решаем нестандартные задачи на переливание в начальной школе

Сформировать у детей интерес к математике всегда было трудным делом и для педагогов, и для родителей. Если старшие школьники понимают, что вычислительные навыки вырабатываются путем многократных, порой однообразных, заданий, то в начальной школе такое понимание детям всегда дается с трудом. Отчасти заинтересовать школьников математикой помогают занимательные задания. Основная их суть – наличие загадки, головоломки, что вызывает любопытство у ребятишек и стремление применить смекалку, инициативу, логику. Педагогами разработано много увлекательных заданий и головоломок для учеников начальных классов на воспитание эрудиции, логики, творческого мышления. Они ценны тем, что расширяют кругозор, формируют нестандартный подход к решению не только математических, но и любых жизненно важных задач. Одной из таких разработок являются задачи на переливание, которые часто встречаются на математических олимпиадах. Родителям наверняка будет интересно узнать все о вполне доступных для домашнего использования, занимательных задачах, которые не только помогут школьнику полюбить математику, но и разнообразят семейный досуг.

Это интересно!

По утверждению классиков педагогики, интерес к предмету появляется тогда, когда приходит вдохновение, рождаемое успехом. Так, любителям математики всегда интересно узнать, как появилось то или иное математическое понятие, тогда и решение головоломок становится творчеством. Таким же приемом можно воспользоваться, если нужно привлечь внимание маленьких школьников к математическим темам. К примеру, педагоги советуют сообщать любопытные факты из жизни знаменитых математиков: за что они полюбили предмет, как пришли к тому или иному открытию, что их подтолкнуло к этому, каково отношение других людей к их открытиям. Это помогает понять, что в сложном предмете нет ничего необычного, трудного, наоборот, именно через него можно найти пути к познанию нового, любопытного. Даже задачи на переливание могут оказать серьезное влияние на жизненный путь. Это доказано французским математиком и физиком Симеоном Дени Пуассоном (1781 – 1840), которому увлечение головоломками и нестандартными задачками помогло раскрыть талант в области математики. Рассказывают, что как-то юному Пуассону предложили решить несколько задач на переливание разного уровня сложности. Он справился с заданием очень быстро, и эта победа над трудным решением повлияла на выбор его будущей профессии – стать математиком.

В теме "Задачи на переливание жидкостей" любопытно познакомить школьников с историей их возникновения. Можно рассказать детям, что эти старинные головоломки возникли много веков назад, но до сих пор привлекают любителей математики необходимостью "поломать голову" над их решением и потом насладиться победой над трудным заданием. Уже тогда в их основу было положено главное условие: отмерить в заданном соотношении жидкость при помощи емкостей разного объема за минимальное количество переливаний. Хотя непросто определить в каком старинном трактате впервые появились такие задачки, тем не менее известна одна из них, составленная более семи веков назад. Детям интересно будет ее послушать и даже решить: "Один хозяин приказал своему слуге купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, направлялся домой, ему повстречался слуга другого хозяина, которого тоже послали за вином. — Сколько у тебя вина? — спрашивает второй слуга. — 8 мер, — отвечает первый. — Мне тоже нужно купить вина, — говорит второй слуга. — Ты ничего не сможешь купить, так как в городе больше вина нет, — заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему два сосуда в 5 и в 3 меры. Как поровну разделить жидкость при помощи сосудов в 8, 5 и 3 меры?" 

Небезынтересно ученикам будет узнать, что во всех этих задачах используется термин "литр". Можно рассказать, что он появился в честь француза Клода-Эмиля-Жана-Батиста Литра. Он жил в XVIII веке и занимался производством винных бутылок. Считается, что Литр — первый из тех, кто стал производить лабораторную посуду.  В частности, он придумал градуированные стеклянные цилиндры. В 1763 году Литр предложил измерять объемы жидкости с помощью единицы, которую в последствии назвали "литром".

Как правильно решать задачи

Все об особенностях задач на переливание 

Известно, что подобные задания, увлекательные, с необычной формулировкой, с поиском неожиданного решения, входят в разряд нестандартных. Для решения нестандартных заданий требуются и нестандартные приемы. Например, ими могут быть таблицы, графики, чертежи. В начальной школе учащимся в доступной форме растолковываются разные варианты решения, однако необходимо при этом познакомить их с некоторыми нюансами таких задач.

1.Все подобные задачи делятся на две системы, от этого зависит выбор способа решения:

"Открытая система" или ее еще называют "Водолей". В эту группу входят такие задания, в которых некоторое количество жидкости нужно отмерить с помощью нескольких пустых сосудов из бесконечного источника (реки, крана). По условию жидкость берется из источника и в него же выливается. Например, "Как с помощью 7-литрового ведра и 3-литровой банки налить из водопроводного крана 5 литров воды?"
"Закрытая система", для детей можно назвать ее "Переливашка". Эти задания предполагают переливание жидкости из большей по объему емкости при помощи нескольких меньших сосудов. В отличие от первого типа задач жидкость можно только переливать из одной емкости в другую, но ни в коем случае не выливать. В качестве примера интересна "задача Пуассона": Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из него половину, но у него нет сосуда в 6 пинт. Зато у него есть два сосуда в 8 и 5 пинт. Как налить 6 пинт в сосуд 8 пинт?

2. При решении таких задач необходимо точно придерживаться установленных правил. Например, если по условию ничего иного не предполагается, считается, что:

все сосуды должны быть без делений;
нельзя переливать жидкость "на глаз";
невозможно ниоткуда добавлять жидкость и никуда сливать.

3. В итоге можно точно сказать, сколько жидкости в емкости, если:

сосуд пуст,
сосуд полон, дана его вместимость,
указан объем жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились,
в переливании участвуют два сосуда, о каждом известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в одном из них,
в переливании участвуют два сосуда, о каждом известно, сколько было жидкости; известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась, надо найти, сколько ее осталось в другом сосуде

Нестандартные способы решения

При выборе способа решения, главное, чему нужно научить детей: необходимо учитывать, что при переливании обязательно отмеряется определенное количество жидкости при помощи каких-либо известных по объему емкостей. Как решать их? Наиболее доступный способ решения — перебирание подходящих вариантов, однако на это потребуется много времени и сил, что не всегда доступно учащимся начальной школы. Математики нашли наиболее рациональные методы решения и разработали алгоритмы (инструкции к действиям):

Алгоритм I. (для решения задач первого типа)

Наполняем большую емкость жидкостью из бесконечного источника.
Переливаем из большей емкости в меньшую емкость.
Выливаем жидкость из меньшей емкости.
Повторяем 1,2,3 действия до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

Алгоритм II. (для решения задач второго типа)

Наливаем жидкость из большей емкости в емкость промежуточного объема.
Переливаем жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.
Переливаем жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.
Повторяем 2 и 3 действия до тех пор, пока промежуточная емкость не станет пустой.

 

"Хитрости" различных решений

Игнорируя самые простейшие способы (перебор вариантов) решения задач, обратимся к наиболее рациональным способам:

метод рассуждений;
метод таблиц: количество столбцов указывает количество необходимых переливаний. Идея заключается в том, что при составлении таблиц можно наглядно представить условие задачи или ее ответ, которые помогают делать логические выводы;

метод блок-схем (графы), сущность которого заключается в том, что необходимо выделить операции (команды), позволяющие точно измерять жидкости. Потом надо установить последовательность выполнения выделенных команд, то есть схему.  Эта схема является программой, приводящей к решению задачи. Графы строятся по принципу таблиц, как в предыдущем методе. Данный способ доступен более старшим школьникам, учащимся 5-6 классов, но если родители видят, что их ребенок готов к усвоению сложных знаний, то можно научить его такому варианту решения. Более подробно прочитать об этом способе можно в статье "Решение задачи на переливание с помощью графа".
метод координат: довольно оригинальный способ решения — векторный, предназначенный также для учащихся 5-6 классов, имеющих опыт работы с координатными плоскостями. Подробнее о нем можно узнать из реферата школьницы 6 класса "Способы решения задач на переливание". Для решения строится система координат с осями Ох и Оу. На оси Ох отмечаются точки, координаты которых кратны объему одного из двух меньших сосудов. На оси Оу отмечается точка, координата которой численно равна объему второй из меньших емкостей. При рассуждении будут постепенно строиться векторы, которые являются последовательными шагами в решении задачи. 
метод математического бильярда: это неожиданное решение впервые предложил выдающийся российский математик Я. Перельман в "Занимательной геометрии". С целью разгадки используется особой конструкции бильярдный стол и бильярдный шарик. Необычность стола заключается в том, что каждая его сторона должна быть равна объему каждой из меньших емкостей. На бортиках стола наносится шкала с делениями, соответствующими выбранной единице объема. В результате движения шарик либо ударяется о бортик в нужной точке (тогда задача имеет решение), либо не ударяется (тогда считается, что задача решения не имеет).

Примерные задачи на переливание

Имеются два сосуда вместимостью 3 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?
Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7 л воды?
Имеются два сосуда вместимостью 17 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 13 л воды?
В первый сосуд входит 8 л, и он наполнен водой. Имеется еще 2 пустых сосуда емкостью 5 л и 3 л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л?
Какое наименьшее число переливаний потребуется для того, чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и пятилитровой банки налить 3 литра воды?
Деление 10 л поровну, имея сосуды 3, 6 и 7 л. Разделить на 2 равные части воду, находящуюся в 6 — литровом сосуде (4 л) и в 7 — литровом (6 л), пользуясь этими и 3 — литровыми сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется?
Деление 8 л поровну, имея сосуды 8, 5 и 3 л. Разделить на 2 равные части воду, находящуюся в полном 8 — литровом сосуде, пользуясь этим и пустыми 11 — и 6 — литровыми сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется?
Деление 16 л поровну, имея сосуды 6, 11 и 16 л. Разделить на 2 равные части воду, находящуюся в полном 16 — литровом сосуде, пользуясь этим и пустыми 5 — и 3 — литровыми сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется?
Два сосуда и кран с водой. Какое наименьшее количество переливаний необходимо для того, чтобы с помощью 7 — и 11 — литровых сосудов и крана с водой отмерить 2 л?
Как, пользуясь банками в 3 и 5 л, набрать ровно 1 л?
Как отмерить 4 л воды с помощью сосудов в 3 и 5 л?
Как, имея лишь два сосуда емкостью 5 и 7 л, отмерить 6 л воды?

Педагоги утверждают, что увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной, нестандартной задачей. Она может встретиться на школьном уроке, на занятии математического кружка, в журнале или книге, но многое могут сделать и родители на домашних занятий, во время семейного досуга. Такие логические задания помогут развить у ребенка не только интерес к математическим действиям, но и сформировать сообразительность, интеллект, упорство в достижении цели.

Источник: myintelligentkids.com